Poincare Conjecture/Theorem and Ricci Flow

Introduction

之前學 group theory 和 tensor calculus, 總結到平直空間的量子場論。最簡單的是 QED 的 Lagrangian 如下為純量，具有 U(1) 對稱性，對應各種守恆律。以及不同路徑對時間積分滿足最小作用原理。

\[\mathscr{L}_{\mathrm{QED}}=\bar{\psi}\left(i \hbar c \gamma^{\mu} D_{\mu}-m c^{2}\right) \psi-\frac{1}{4 \mu_{0}} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}\]

可以由 QED Lagrangian 推導非量子場論近似解 Maxwell equations. Maxwell equations 可以解釋所有的電磁現象，但無法解釋光量子效應例如光電效應，黑體輻射，雷射等等。就像可以從愛因斯坦場方程式推導近似解牛頓萬有引力定律。

把 tensor calculus 從 Euclidean (differential) geometry 推廣到 Riemannian (differential) geometry, 可以連結到廣義相對論。以下是愛因斯坦場方程式：

\[G_{\mu \nu} \equiv R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}=\frac{8 \pi G}{c^{4}} T_{\mu \nu}\]

右手 $T_{\mu\nu}$ 是 energy-momentum tensor, 二階張量，代表 mass-energy distribution. 左手 $G_{\mu\nu}$ 是 Einstein tensor, 也是二階張量，代表 space-time curvature, 基本是 $R_{\mu\nu}$ (Ricci curvature tensor) 減去一個修正項。

多出的修正項 $ 1/2 R g_{\mu\nu}$ 項：$R$ 是 scalar curvature (trace of Ricci curvature tensor), $g_{\mu\nu}$ is metric tensor. 當初愛因斯坦寫下的場方程式並沒有這一項: (1)違反 local conservation of energy-momentum. 也就是 energy flow is not preserved [@wikiHistoryGeneral2019];（2）無法得到座標系無關形式，違反(馬赫)廣義相對性原理。愛因斯坦求助於 Hilbert. 在 Hilbert 的協助下，找到這個修正項。

如果 $T_{\mu\nu}$ 隨時間變化，例如兩個黑洞旋轉合併，會改變時空曲率。時空曲率又會反過來影響質能分佈 and vice versa, 因而產生時空漣漪，一般稱為引力波。如同 Maxwell equation 的電場變化產生磁場 and vice versa, 因而產生電磁波。

Tensor Calculus 和 Differential Geometry 能夠用於 Quantum Field Theory and General Relativity 兩大物理學，已經是非常幸福。更幸福的是可以用於 Topology 的 Poincare conjecture (now theorem proved by Perelman). 這部分我們 follow Hamilton’s direction using Ricci flow. [@hamiltonRichardHamilton]

Laplacian Operator and Heat Equation

這部分可以參考前文【】。

我們從座標無關的張量定義拉普拉斯算子：$\Delta = \nabla\cdot\nabla$, 或是 diverge of gradient of a scalar or vector field. 以上的定義不只用於歐氏幾何，也適用黎曼幾何。

熱傳導 (heat diffusion) $\Delta \varphi(\vec{r},t) = -\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\varphi(\vec{r},t)\quad c\text{ is conductivity}$

上式是 manifold 固定，只是定義在 manifold 上的純量場 (e.g. 勢能場，溫度場) 隨時間和空間變化，但是整體 volume 不變（守恆量），對應一個 flow。

Ricci Flow = 愛因斯坦場方程式 + 拉普拉斯熱傳導

Hamilton 則是考慮 manifold 本身隨時間變化。1981 引入 Ricci flow. 觀念上非常類似上述的熱傳導。但直接用於 manifold (intrinsic) 而非其上的 (extrinsic) field. 非常開創性而且具物理性直觀性！

看了 Hamilton 2006 Youtube 的演講 [@hamiltonRichardHamilton2006], 他也許不是第一個把 PDE (Partial Differential Equation) 用於 topology. 但是第一個引入 Ricci flow, 結合分析和拓墣，對於 topology 非常具體實用 (N-manifold, not only 2 or 3). 拓墣可以大量借用 PDE 的理論，甚至可以用計算機協助。就像笛卡爾引入直角座標系結合代數和幾何。

Hamilton 高度評價 Perelman 在 Ricci flow 的貢獻，不像某一些文章暗示 Hamilton 對 Perelman 有心結。Perelman 在拒絕 Fields medal 也高度評價 Hamilton 在 Ricci flow 的創見。兩人在專業領域應該是互相佩服。

Hamilton 提出的 Ricci Flow 如下。果然是數學家的公式，非常簡潔。其實就是張量版的熱傳導方程式！

\[2 R_{i j} = -\partial_{t} g_{i j}\]

$R_{ij}$ 代表 manifold 的 intrinsic curvature, 基本是 Christoffel symbol 的空間一階導數 [@ListFormulas2019]。

\[R_{ij} = \frac{\partial \Gamma_{i j}^{\ell}}{\partial x^{\ell}}-\frac{\partial \Gamma_{i \ell}^{\ell}}{\partial x^{j}}+\Gamma_{i j}^{m} \Gamma_{\ell m}^{\ell}-\Gamma_{i \ell}^{m} \Gamma_{j m}^{\ell}\]

and Christoffel symbol 是 metric tensor 的空間一階導數

\[\Gamma_{k i}^{i}=\frac{1}{2} g^{i m} \frac{\partial g_{i m}}{\partial x^{k}}=\frac{1}{2 g} \frac{\partial g}{\partial x^{k}}=\frac{\partial \log \sqrt{|g|}}{\partial x^{k}}\]

因此 $R_{ij}$ 基本是 metric tensor $g_{ij}$ 的空間二階導數。這和拉普拉斯算子的功能一致。等式的右手則是 metric tensor 對時間一階導數。因此 Ricci flow equation 類似拉普拉斯熱傳導公式。隨時間改變 manifold 的 metric tensor, Christoffel tesnor, curvature tensor.

熟悉愛因斯坦場方程式者會想到修正項。Yes! 這稱為 normalized Ricci flow. Normalized Ricci flow 的定義如下 [@wikiRicciFlow2019]：

\[2 R_{i j} - \frac{2}{n} R_{\mathrm{avg}} g_{i j} = -\partial_{t} g_{i j}\]

where $R_{avg}$ is the average (mean) of the scalar curvature (which is the trace of Ricci tensor), n is the dimension of the manifold.

The normalized equation preserves the volume of the metric space. 這一句話就是加上中間這一項才能保持 volume 不變。這是 “(incompressible) flow” 的基本條件。這修正項和愛因斯坦廣義場方程式基本一致 (n=4)，滿足場方程式座標系無關，也就是廣義相對性原理。

基本原則是 metric tensor, Christoffel tensor, curvature tensor exponentially decay.

Ricci flow 的負號會讓不穩定的負曲率 (3-manifold 雙曲面) 只會短暫出現。
大的正曲率（非常彎 3-manifold 橢圓曲面）也會很快 decay。
最後由小的正曲率（平緩 3-manifold 橢圓曲面）dominate manifold 的變化。
Ricci flow 變化 manifold 過程中，拓墣特性不變 (invariant)，就是同胚！可以用於證明 Poincare theorem.
Volume (area for 2-manifold) is preserved? Yes for normalized Ricci flow; No for Ricci flow. A good way to think of the normalized Ricci flow is that it’s the same as Ricci flow but you rescale every time-slice to make the volume constant. Maybe also reparametrize time to make the equation nicer if you feel like it. Of course, isometries are still isometries after a metric gets rescaled.
下圖是一個 2D surface/manifold 的 Ricci flow 變化 surface/manifold 的過程。因為是 Ricci flow, surface area is not preserved.

Poincare Conjecture/Theorem

回到 Poincare conjecture [@PoincareConjecture2019]. 先從最基本的 2D surface 開始，比較直觀。

A compact 2-dimensional surface (2D manifold) without boundary is topologically homeomorphic to a 2-sphere if every loop can be continuously tightened to a point.

更簡潔的說法

Every simply connected, closed (i.e. no boundary and compact) 2-manifold is homeomorphic to the 2-sphere.

基本上如果一個 2D surface 任何一個 loop 可以連續收斂到一個點，2D surface 必定和球面同胚，如上圖。

再看 2D torus (環面) 如下圖。沒有 boundary, 存在兩種 loops (red and pink) 都無法收斂到一個點。因此 2D torus 和球面不同胚。

任何一個 loop 可以連續收斂到一個點 = 沒有破洞 = 單連通翻譯成中文： 任一單連通的、封閉的二維流形與二維球面同胚。

The Poincaré conjecture asserts that the same is true for 3-dimensional as follows! Every simply connected, closed (i.e. no boundary and compact) 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere.

翻譯成中文： 任一單連通、封閉的三維流形與三維球面同胚。

###如何想像單連通、封閉的三維流形？對於處於三維歐氏空間的我們，可以看到封閉的二維流形（如各種球面，環面，Klein bottle, etc.）我們可以想像有邊界的三維流形，但是很難想像封閉的三維流形。這需要四維空間的視角才能想像。但對於簡單封閉三維流形，我們可以展開降維到三維歐氏空間。

以下用 2D 骰子面（和 2D 球面同胚）來類比。參考數學女孩龐加萊猜想。 2D 骰子面是單連通、封閉的二維曲面，和二維球面同胚。為什麼用 2D 骰子面？因為 3D cube (embed 2D 骰子面)可以展開成 6 個 2D 正方形在 2D 歐氏平面。每一個正方形的 4 邊，都和 4 個正方形相鄰。因此一個 2D 曲面的生物 (毛毛蟲)，只要遵循相鄰的規則，可以一直移動不會離開 2D 骰子面。也就是具有封閉性。

把 2D 骰子面推廣到 3D 骰子體（和 3D 超球面同胚）。原則上要在 4D 歐氏空間才能想像。可以用下圖左近似 4D hypercube。可以展開成 8 個 3D 立方體 (cube), 每一個 3D cube 的 6 面，都和 6 個（上下左右前後）3D cube 相鄰。因此一個 3D 生物（人），只要遵循相鄰的規則，可以一直移動不會離開 3D 骰子體。也就是具有封閉性。

Why Poincare Conjecture is Important？

首先聽起來很基本且重要。的確這是拓墣學一個基本問題。事實上，在 2 維和大於等於 4 維流形，本命題都已證明維真。只有在 3 維流形，也就是 Poincare conjecture, 一直到 Perelman 在 2006 才證明 Poincare conjecture.

更重要的是 1982 Thurston 提出 geometrization conjecture (now theorem) 猜測所有封閉的三維流形 (3-manifold) 可以分解為 8 種基本幾何結構，3-sphere 是其中之一。[@wikiGeometrizationConjecture2019]

類似有 uniformization theorem 適用於二維流形 (2-manifold): 所有單連通的二維流形（球面）一定是 3 種曲面之一（Euclidean, spherical, or hyperbolic).

Strategy to Prove Poincare Conjecture

Hamilton 1981 提出 Ricci flow 的思路：

對於單連通、封閉 3-manifold 作為初始條件, $g_{ij}(0)$, 施加 Ricci flow deforms 3-manifold.
Ricci flow 變化 manifold 過程中，manifold 拓墣特性不變 (invariant)，就是同胚！
Ricci flow 的負號會讓不穩定的負曲率只會短暫出現。大的正曲率也會很快 decay. 最後由小的正曲率 dominate manifold 的變化。最後趨近 3-sphere.
因此證明單連通、封閉 3-manifold 和 3-sphere 同胚，也就是 Poincare conjecture.

Hamilton 在 Ricci flow 的貢獻：[@hamiltonRichardHamilton2006]

正曲率的 2/3-manifold 在 finite time 收斂到一點 (singularity with curvature $\to\infty$)。但 normalize (area/volume) 之後收斂到 2/3-sphere，就是 2/3-sphere 同胚。等效於使用 normalized Ricci flow to preserve volume (?).
2-manifold 啞鈴 (1 “neck” with positive and negative curvature) 或是多個 “neck” 如圖一在 finite time 收斂到一點。
因此 2-manifold 可以很容易用 Ricci flow 證明和 2-sphere 同胚。這是簡單的牛刀小試。
3-manifold with neck 就跟複雜，會產生 “neck pinch” singularity. Hamilton 提出 Ricci flow with surgery to cut off large curvature portion and solve the singularity to converge to 3-sphere. Hamilton 的父親是真的外科醫生。
但存在 cigar (2-manifold) or other 3-manifold soliton 過程永遠保持形狀不變，無法收斂到 3-sphere.

Perelman 解決 Hamilton Ricci-flow 的漏洞。