Source
https://www.youtube.com/watch?v=BSHv9Elk1MU&ab_channel=notallwrong : 五次方程式無根式解的證明。不用 Galois theory.
https://www.youtube.com/watch?v=zCU9tZ2VkWc&ab_channel=Mathemaniac : Galois theory solution with good explanation.
Takeaway
Introduction
五次方程式沒有根式解是 Abel 和 Galois 的證明，也是群論的初試鋒芒。
不過整個 solvable group 的證明都很抽象，需要更直觀的説明。
兩種方法：
- 正統方法
- 直覺方法
正統方法
五次方程式根式解是一個 field 的問題。嚴格來説是 field extension.
以 $x^2 = 2$ 爲例：
- $\Q \to \Q(\sqrt{2})$ 包含根式解
以 $x^3 = 1$ 爲例：
- $\Q \to \Q(\zeta)$ 包含根式解
以 $x^3 = 2$ 爲例：
- $\Q \to \Q(\zeta) \to Q(\zeta, \sqrt[3]{2})$ 包含根式解
field 和 field extension 基本是困難的問題 (無限解)。幸運是 field extension 對應 group operation. Group 是有限的，比較容易解決。
YouTube video 就是在説明這點。不過還是難理解。
直覺方法
另一個 YouTube video 則是用反證法。利用根的 commuting 證明。
值得再參考。