Source
http://wordpress.discretization.de/geometryprocessingandapplicationsws19/connections-and-parallel-transport/. Connection and Parallel Transport
file:///Users/allenlu/Downloads/9781429799850-14.pdf link parallel transport with parallel postulate
Introduction
人類是視覺的動物，我們是如此習慣 global view 對於一些 global view take for granted.
例如：直線，平行，… 都是一眼可以看出來，但是定義起來要花一些思考。如何轉換的曲面就要小心。
直線：兩點間最短的路徑 -> 可以直接推廣到曲面。
平行：兩條直線永遠不相交。或是兩條直線之間等距離。這兩者在平面等價，但在曲面不是。例如北緯 10 度線和赤道是等距離也不相交。但是北緯 10 度線不是曲面的直線（大圓）！但是赤道是曲面的直線（大圓）。
就像我們如此習慣 10 進位因為有 10 隻手指頭。對於轉換到 2 進位，8 進位，16 進位需要大腦的 extra-time to process.
所以直線，平行線還有用嗎？ Yes!! 非常有用，但是 go local, 就是 parallel transport.
幾何根據全域或局部以及外視或内視可以略分為 4 類：
-
Local (局部): 基於非常小區域 (微分=無窮小) 的特性，例如曲率 (curvature)、connection (covariant derivative)
- Global (全域): 基於 loop、transversal (軌跡)、大區域的特性，例如圓周率、三角形内角和、曲面的形狀
- Extrinsic view (外視): birds-eye-view (上帝視角) 即是 manifold 是嵌入更高維的歐式空間 (X, Y, Z 卡氏座標)
- Intrinsic view (內視): bugs-eye-view (毛毛蟲視角) 沒有參照坐標系，只能靠 manifold 本身的 objects (綫，角度，平行移動) 推導 manifold 的性質。結果應該和 extrinsic view 結果一致。
一個的例子説明不同的方式定義“直綫”。
| 直綫 | Extrinsic (Birds-Eye-View) | Intrinsic (Bugs-Eye-View) |
|---|---|---|
| Global (大區域) | 兩點之間最短“歐氏距離” 但限制在曲面上 | 兩點之間最短“度規距離” (metric distance) |
| Local (非常小區域，微分) | Acceleration vector (position vector 的二次微分) 的切平面的分量為 0 | 平行移動 (Parallel transport) 和此綫的切向量同向 |
再定義 Geodesic
Extrinisc 外視
就是在地球上的情形。任意一條地上的曲綫包含了曲綫在局部平面的曲率 ($\kappa_g$， 代表 geodesic curvature)，以及地球本身的曲率 ($\kappa_n$)，如下圖 $\boldsymbol{\kappa} = \boldsymbol{\kappa}_g + \boldsymbol{\kappa}_n$ 向量。 $\kappa_g$ 就是用一個平面圓逼近，或是平面弧度的變化。$\kappa_n$ 則是曲面本身的外視線曲率，就是上面的 $\kappa(\theta)$ ($\kappa_n \ne 1/R^2 = \kappa_1 \kappa_2$?) R 是面曲率。
注意 $\kappa_g$ 是二維生物可以測量的，也就是内視線曲率。但是 $\kappa_n = \kappa(\theta)$ 不是内視線曲率。只有在特別的例子，例如球體可以從高斯曲率開根號得到！
-
如果一條曲綫每一點 $\kappa_g = 0$， 則是 geodesic! 白話文：如果一條線每一點的 geodesic curvature 為 0, 這條線就是 geodesic (曲面上的直線！)。這是可以內視的性質。
-
數學上
\[\boldsymbol{\kappa} = \kappa \bold{N} = \boldsymbol{\kappa}_g + \boldsymbol{\kappa}_n\\ \boldsymbol{\kappa} = \kappa \bold{N} = \frac{d\bold{T}}{ds} = \frac{d^2\bold{R}}{ds^2} = \boldsymbol{\kappa}_g + \boldsymbol{\kappa}_n = \boldsymbol{\kappa}_n\]
Intrinsic 内視
直線 (Geodesic) 就是 parallel transport 沿著此線移動不變！
- 例如平面的直線，如果拿一根棍子和直線有一個角度(可以是 0 度)，沿著直線移動，這個角度不會改變，這就是 geodesic (曲面的直線)。
- 可以推導 geodesic 也是兩點間最短的路徑。不完全一樣。例如在球面大圓是 geodesic, 但是兩點間 (例如紐約到巴黎) 的 geodesic 有兩條，但是最短路徑只有其中一條 geodesic.
如何表示 Geodesic？
外視 geodesic 物理意義：acceleration vector (position vector 二次微分) 的切向量 $\boldsymbol{\kappa}_g$= 0
也就是 acceleration vector 只能有非 0 的法向量！如下圖。
\(\begin{aligned}
& \frac{d^2 \vec{R}}{d \lambda^2}=\left(\frac{d^2 \vec{R}}{d \lambda^2}\right)^{\text {tangential }}+\left(\frac{d^2 \vec{R}}{d \lambda^2}\right)^{\text {normal }} = \boldsymbol{\kappa}_g + \boldsymbol{\kappa}_n\\
& \frac{d^2 \vec{R}}{d \lambda^2}=\left(\frac{d^2 u^k}{d \lambda^2}+\Gamma_{i j}^k \frac{d u^i}{d \lambda} \frac{d u^j}{d \lambda}\right) \frac{\partial \vec{R}}{\partial u^k}+L_{i j} \frac{d u^i}{d \lambda} \frac{d u^j}{d \lambda} \hat{n}
\end{aligned}\)
Geodesic 就是切綫方向為 0, $\kappa_g = 0$
\[\begin{aligned} \frac{d^2 u^k}{d \lambda^2}+\Gamma_{i j}^k \frac{d u^i}{d \lambda} \frac{d u^j}{d \lambda} = 0 \end{aligned}\]内視 geodesic 物理意義：manifold 上 curve $\gamma$ 的切向量即使 parallel transport
\[\begin{aligned} & \nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma}=0 \\ & \frac{d^2 \gamma^\lambda}{d t^2}+\Gamma_{\mu \nu}^\lambda \frac{d \gamma^\mu}{d t} \frac{d \gamma^\nu}{d t}=0, \end{aligned}\]一個的例子説明不同的方式定義 geodesic.
| 直綫 | Extrinsic (Birds-Eye-View) | Intrinsic (Bugs-Eye-View) |
|---|---|---|
| Global (大區域) | 兩點之間最短“歐氏距離” 但限制在曲面上 | 兩點之間最短“度規距離” (metric distance) |
| Local (非常小區域，微分) | Acceleration vector (position vector 的二次微分) 的切平面的分量為 0 | 平行移動 (Parallel transport) 和此綫的切向量同向 |
如何定義 Curvature?
-
Parallel transport -> holonomy -> 平行四邊形的 parallel transport difference, 也就是二次微分 -> (Riemann) curvature
-
Parallel transport -> geodesic -> geodesic deviation -> (Ricci tensor) curvature
