Lagrangian and Hamiltonian Mechanics

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Good youtube video: https://www.youtube.com/watch?v=Ohrl3S2wcBU&list=PLDcSwjT2BF_WVum1CMO9hMSIa7TyrGjsK&ab_channel=Mathemaniac

Mathemaniac 的 youtube video 是從 Michigan University 的 Gabriele Carcassi 的 paper 和 video 得出的！ 他另外有 12 不同的 Hamiltonian 的表示法。

Dr. Jorge Diaz: Virtual work to Lagrangian: https://www.youtube.com/watch?v=QbnkIdw0HJQ

Braintruffle, very interesting video to explain from geometry viewpoint (Symplectic geometry) that Hamiltonian is robust over long time evolution! https://www.youtube.com/watch?v=nCg3aXn5F3M

深度解讀 Newtonian、Lagrangian、Hamiltonian 力學的三種觀點

以下三點補充說明，可以更清楚地看出這三種力學形式之間的深層關係，以及為何在不同情境下會選擇不同的框架。

1. 抽象層次的演化：從 Vectors → Scalars → Geometry

每一種力學形式代表物理描述方式的不同抽象層次。

Newtonian Mechanics — 向量 (Vectorial)

  • 建立在 force、acceleration 與 vector equations 上。
  • 需要選定座標系，並將每個向量分解成 (x, y, z) 分量。
  • 對複雜系統或曲面問題會變得繁瑣。

Lagrangian Mechanics — 純量 (Scalar)

  • 以一個 單一純量函數 描述整個系統： L = T − V（動能減位能）。
  • Scalar 與座標系無關，因此能自然處理座標轉換。
  • 系統動力學來自對 Action (作用量) 的最小化，提供比平衡力更統一與優雅的描述方式。

Hamiltonian Mechanics — 幾何 (Geometric)

  • 觀點移動到抽象的 phase space (相空間)，其座標為 ((q, p))。
  • 系統演化成為由 Hamiltonian 產生的 flow (流)。

  • 揭露更深層的結構性，包括：

    • symmetries（對稱性）
    • conserved quantities（守恆量）
    • canonical transformations（正則變換）
    • Liouville’s theorem（相空間體積守恆）

2. 對 Constraints 的詮釋：從 Forces → Coordinates

這個角度強調各種力學如何「處理約束」。

Newtonian：需要 Constraint Forces

  • 必須引入額外的 forces of constraint（例如支持力、張力）讓物體保持在受限空間中。
  • 這些力可能不做功，但在 Newtonian 框架中不可省略。

Lagrangian：使用 Generalized Coordinates

  • 選擇座標時即可將 constraints 直接寫進座標系。
  • 例如：描述球面運動 → 使用 ((\theta, \phi)) 而不是 ((x, y, z))。
  • Constraint forces 在方程式中完全消失，大幅簡化問題。

  • 在以下領域極具優勢：

    • robotics（機器人學）
    • 多連桿機構
    • 分子動力學
    • 任意含 holonomic constraints 的系統

3. 作為通往現代物理的關鍵橋樑

從 Lagrangian 過渡到 Hamiltonian，不只是數學技巧，而是 20 世紀物理學的核心入口。

Quantum Mechanics

  • Hamiltonian (H) 成為決定時間演化的 operator（經由 Schrödinger equation）。

  • (q) 與 (p) 變成 non-commuting operators，導致：

    • uncertainty principle（不確定性原理）
    • quantum observables（量子可觀測量）
    • canonical quantization（正則量子化）

Statistical Mechanics

  • 系統的微觀狀態對應到高維 phase space 中的一個點。

  • Hamiltonian 決定：

    • Boltzmann factor 的能量分佈
    • energy surfaces（能量曲面）
    • 相空間中的統計流動
  • 宏觀熱力學行為源自 phase-space trajectories 的統計分布。

📘 Lagrangian 與 Hamiltonian 力學之比較

項目 Lagrangian 力學 Hamiltonian 力學
基本變數 $(q_i, \dot{q}_i)$：位置與速度 $(q_i, p_i)$：位置與動量
定義函數 $L(q, \dot{q}, t)$：動能 − 位能 $H(p, q, t)$：總能量（動能 + 位能）
關聯式 $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ $H = p_i \dot{q}_i - L$（Legendre 變換）
運動方程 Euler–Lagrange 方程：
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$		 Hamilton 方程組：
$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$
方程階數 $N$ 個二階微分方程 $2N$ 個一階微分方程
幾何空間 構形空間 (Configuration space) 相空間 (Phase space)
幾何結構 路徑積分、變分原理 辛幾何 (Symplectic geometry)
直觀物理意義 動作量 (Action) 最小原理 能量守恆與流形結構
優勢應用 對稱性分析、Noether 定理、場論 量子化、能量分析、數值模擬、統計力學
方程求解特性 適合從物理過程導出運動方程 適合解析守恆律與相軌跡演化
在量子化中的角色 路徑積分形式 (Feynman) 能量算符 (Schrödinger)
數值分析特性 容易引入能量漂移 可保辛結構（symplectic integrator）
代表性思維方式 「最小作用量 → 運動」 「能量流 → 狀態演化」

📘 補充說明

基本概念差異

  • Lagrangian 力學：以廣義坐標 $(q_i, \dot{q}_i)$ 為基本變數，通過 Lagrangian 函數 $L = T - V$ 描述系統。
  • Hamiltonian 力學：以正則坐標 $(q_i, p_i)$ 為基本變數，通過 Hamiltonian 函數 $H = T + V$ 描述系統。

變數的本質差異

  • Hamiltonian 力學 明確承認動量 $p$ 與位置 $q$ 是兩個不同的物理量，在相對論或量子力學中，$p$ 不再僅僅是 $\dot{q}$ 的線性函數，因此 Hamiltonian 形式更一般化。
  • Lagrangian 力學 只使用 $(q, \dot{q})$，其中 $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$。

形式的等價與轉換關係

兩種表述在經典力學中等價，通過 Legendre 變換 相互對應： \(H(p, q) = p\dot{q} - L(q, \dot{q}), \quad \text{其中 } p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)

幾何與物理意涵

  • Hamiltonian 力學 具有明確的相空間幾何結構，能用辛幾何描述。
  • Lagrangian 力學 對應於構形空間上的路徑最小作用量原理。
  • 在物理直觀上，Hamiltonian 通常對應「總能量」，因此在量子化與統計物理中更自然。

微分方程形式與數值分析

  • Hamiltonian 力學 導出 $2N$ 個一階方程： \(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)
  • Lagrangian 力學 導出 $N$ 個二階方程： \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\)
  • 從數值分析角度，Hamiltonian 形式較易保持能量守恆與辛結構，在長時間模擬上更穩定。

延伸應用

  • 量子力學：Hamiltonian 直接對應於系統的能量算符，為薛丁格方程的核心。
  • 場論：Lagrangian 形式常用於推導對稱性與守恆律（Noether 定理）；Hamiltonian 形式則用於量子化與正則對易關係。
  • 總結：兩者在不同層面上各有優勢——Lagrangian 側重「變分與對稱性」，Hamiltonian 側重「結構與演化」。

Lagrangian 和 Least Action Principle

1. Virtual work 解釋 : from Newtonian to Least Action

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假設所有的 forces 都是 conservative force. ![[Pasted image 20251109222159.png]] ![[Pasted image 20251109222013.png]] ![[Pasted image 20251109222459.png]]

2. Extended phasor plan 解釋 : 包含 Hamiltonian 和 least action. 經過比較複雜的 flow concept 得到 vector potential, 最後可以得到 least action. 太複雜！ 不是從 Newtonian 開始，而是 divergence free extended phase space.

Trick 1: 從 phase space (p, q) 延申到 extended phase space (p, q, t) Trick 2: make $\nabla \cdot u = 0$ by changing the coordinate system Trick 3: 最重要的部分: $u = -\nabla \times \theta$ ![[Pasted image 20251110203055.png]] ![[Pasted image 20251110203120.png]]

$L= p \dot{q} - H(p,q)$ 結論是 vector potential (無法觀察物理量) 的綫積分就是 action. vector potential 在 extended phase space 切綫的内積就是 Lagrangian.

![[Pasted image 20251110203154.png]]

![[Pasted image 20251109221212.png]]

Hamiltonian 的 12 種解釋：沒有 least action principle!!

Hamiltonian 側重「結構與演化」。沒有 least action principle 可以理解，因爲沒有 second order differential equation!

![[Pasted image 20251109220343.png]]

Relation (and physical interpretation) between Lagrangian, Hamiltonian, and Legendre Transformation

Trajectory: phasor plane

Motion: Extended Phasor plane , 加上時間 axis.

Time history: 對應 p(t), q(t)

Motion 投影在 (p, q) plane 就是 trajectory. Motion 投影在 (p, t) 或是 (q, t) 就是 time history.

1, Lagrangian = T - V (KineTic energy - Potential energy)

  1. generalized Lagrangian

    Hamiltonian: why it equal to least action? but action is the integration of Lagrangian, not Hamiltonian?

  2. Why the Lagrangian and Hamiltonian is linked by Legendre transformation?

![[Pasted image 20250516000511.png]]

![[Pasted image 20250516000539.png]]