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Source

https://www.youtube.com/watch?v=BSHv9Elk1MU&ab_channel=notallwrong : 五次方程式無根式解的證明。不用 Galois theory.

https://www.youtube.com/watch?v=zCU9tZ2VkWc&ab_channel=Mathemaniac : Galois theory solution with good explanation.

Takeaway

Introduction

五次方程式沒有根式解是 Abel 和 Galois 的證明，也是群論的初試鋒芒。

不過整個 solvable group 的證明都很抽象，需要更直觀的説明。

兩種方法：

  • 正統方法
  • 直覺方法

正統方法

五次方程式根式解是一個 field 的問題。嚴格來説是 field extension.

以 $x^2 = 2$ 爲例：

  • $\Q \to \Q(\sqrt{2})$ 包含根式解

以 $x^3 = 1$ 爲例：

  • $\Q \to \Q(\zeta)$ 包含根式解

以 $x^3 = 2$ 爲例：

  • $\Q \to \Q(\zeta) \to Q(\zeta, \sqrt[3]{2})$ 包含根式解

field 和 field extension 基本是困難的問題 (無限解)。幸運是 field extension 對應 group operation. Group 是有限的，比較容易解決。

YouTube video 就是在説明這點。不過還是難理解。

直覺方法

另一個 YouTube video 則是用反證法。利用根的 commuting 證明。

值得再參考。

Reference

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